李群和李代数
群的切空间是指群中某个元素处的切向量构成的集合。
三维特殊正交群
$\mathbf{SO}(3)$。旋转矩阵组成的群，对应的李代数为旋转向量。
逆矩阵
逆矩阵是它的转置 $$ \mathbf{R}^{-1} = \mathbf{R}^{\top} $$
切空间
在幺元处的切空间 $$ \mathbf{\dot{R}} = \begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ -z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{bmatrix} $$ 称该形式的矩阵为反对称矩阵。定义向量$ \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}^{\top} $的映射 $$ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}^{\wedge} = \begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ -z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{bmatrix} $$
伴随矩阵
$$ Ad_\mathbf{R} = \mathbf{R} $$
特殊欧式群
$\mathbf{SE}(3)$。位姿变换矩阵组成的群。群元素 $\mathbf{T} = \begin{bmatrix}
\mathbf{R} & t \\
\mathbf{0} & 1
\end{bmatrix}$
逆矩阵
$$ \mathbf{T}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{R}^{\top} & -\mathbf{R}^{\top} \\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix} $$
切空间
在幺元处的切空间 $$ \mathbf{\dot{T}} = \begin{bmatrix} \left[ \xi_R \right]^{\wedge} & \xi_t \\ \mathbf{0} & 0 \end{bmatrix} $$
伴随矩阵
$$ Ad_\mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & 0 \\ \left[ t \right]^{\wedge} \mathbf{R} & \mathbf{R} \end{bmatrix} $$
特殊欧式群的扩展
$\mathbf{SE}_{k+1}(3)$。发现形如
$$
\mathcal{X} = \begin{bmatrix}
\mathbf{R} & t & p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{k} \\
0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
$$
的矩阵，其中$p_{k} \in \mathbb{R}^3 $，也满足群定义。
逆矩阵
$$ \mathcal{X}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{R}^{\top} & -\mathbf{R}^{\top}t & -\mathbf{R}^{\top}p_{1} & -\mathbf{R}^{\top}p_{2} & \cdots & -\mathbf{R}^{\top}p_{k} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} $$
切空间
在幺元处的切空间 $$ \dot{\mathcal{X}} = \begin{bmatrix} {\left[ \xi_R \right]}^{\wedge} & \xi_t & \xi_{p_1} & \xi_{p_2} & \cdots & \xi_{p_k} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} $$ 与反对称矩阵相似，定义映射 $$ \Lambda \begin{bmatrix} \xi_R \\ \xi_t \\ \xi_{p_1} \\ \vdots \\ \xi_{p_k} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\left[ \xi_R \right]}^{\wedge} & \xi_t & \xi_{p_1} & \xi_{p_2} & \cdots & \xi_{p_k} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} $$
伴随矩阵
$$ Ad_\mathcal{X} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & 0 & 0 &\cdots &0 \\ \left[ t \right]^{\wedge} \mathbf{R} & \mathbf{R} & 0 &\cdots &0 \\ \left[ p_1 \right]^{\wedge} \mathbf{R} & 0 & \mathbf{R} &\cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\cdots &0 \\ \left[ p_k \right]^{\wedge} \mathbf{R} & 0 &0 &\cdots & \mathbf{R} \end{bmatrix} $$